Coefficients binomiaux et binôme de Newton

1. Développer les expressions `(x+7)^2` et `(x-7)^2`.
2. Soit \(a\) et \(b\) deux réels. Développer `(a+b)^2`.
3. Développer `(a+b)^3`. On pourra procéder ainsi `(a+b)^3=(a+b)^2\times (a+b)`.
4. Pour chaque terme de l'égalité trouvée à la question 3., déterminer la somme des puissances de `a` et `b`. Que remarque-t-on ?
5. Dresser les \(7\) premières lignes du triangle de Pascal. Retrouver les coefficients des formes développées des questions 2. et 3. dans le triangle.
6. Proposer une relation entre les nombres inscrits dans le triangle de Pascal et les coefficients des termes du développement de `(a+b)^n` où `n` est un entier naturel. L'écriture `(a+b)^n` s'appelle binôme de Newton. 
7. Sans calculs, à l'aide du triangle de Pascal, compléter : \((a+b)^4=\;...\;a^4~+\;...\;a^3b~+\;...\;a^2b^2~+\;...\;ab^3~+\;...\;b^4\).
8. Sans calculs, à l'aide du triangle de Pascal, développer \((a+b)^6\).